1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
|
\documentclass[dutch, a4paper]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{csquotes}
\usepackage{microtype}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[noabbrev]{cleveref}
\usepackage[
backend=biber,
bibencoding=utf8,
]{biblatex}
\addbibresource{refs.bib}
\setdescription{
labelwidth=3ex
}
\title{Exacte berekening van het gedeelde oppervlak van een cirkel en een rechthoek}
\author{Loek Le Blansch}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
In dit document wordt beschreven hoe men het gedeelde oppervlak van een willekeurige
cirkel met een willekeurige rechthoek exact kan berekenen. Een interactief voorbeeld
is beschikbaar op Desmos \autocite{desmosimpl}, en een voorbeeldimplementatie van de
complete formule in de programmeertaal Python staat beschreven in de bijlage van dit
document.
\end{abstract}
\section{Definities}
De volgende variabelen worden gebruikt in de berekeningen, met uitzondering van
functieparameters:
\begin{description}
\item[$a$] (de cirkel)
\begin{description}
\item[$a_r$] (de straal van cirkel $a$)
\end{description}
\item[$bc$] (de rechthoek)
\item[$b$] (\'e\'en hoekpunt van de rechthoek $bc$)
\begin{description}
\item[$b_x, b_y$] (de co\"ordinaten van punt $b$)
\end{description}
\item[$c$] (tegenovergestelde hoekpunt van $b$ in rechthoek $bc$)
\begin{description}
\item[$c_x, c_y$] (de co\"ordinaten van punt $c$)
\end{description}
\end{description}
\section{Berekening}
Het interval waarmee de integraal wordt berekend is gedefini\"eerd door $[b_1, c_1]$.
\Cref{eq:var:d1,eq:var:d2} defini\"eren deze waarden als de $x$-co\"ordinaten van de
hoekpunten $b$ en $c$, begrensd tussen $[-a_r, a_r]$.
\begin{equation}\label{eq:var:d1}
b_1=\min\left(a_r,\max\left(-a_r,b_x\right)\right)
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:var:d2}
c_1=\min\left(a_r,\max\left(-a_r,c_x\right)\right)
\end{equation}
\Cref{eq:fn:f} defini\"eert de functie $f$ als alleen de bovenste helft van cirkel
$a$.
\begin{equation}\label{eq:fn:f}
f\left(x\right)=\sqrt{a_r^2-x^2}
\end{equation}
\Cref{eq:var:f1} defini\"eert $f_1$ als de laagste verticale co\"ordinaat van de
punten $b$ en $c$, begrensd tussen $[0, a_r]$.
\begin{equation}\label{eq:var:f1}
f_1=\min\left(a_r,\max\left(0,\min\left(b_y,c_y\right)\right)\right)
\end{equation}
\Cref{eq:var:f2} defini\"eert $f_2$ als de absolute hoogte van rechthoek $bc$.
\begin{equation}\label{eq:var:f2}
f_2=\left|\max\left(0,b_y\right)-\max\left(c_y,0\right)\right|
\end{equation}
\Cref{eq:fn:g} defini\"eert de functie $g$ als een transformatie van de functie $f$,
met een translatie van $f_1$ omlaag, en een begrenzing van het bereik van de functie
tot $[0, f_2]$.
\begin{equation}\label{eq:fn:g}
g\left(x\right)=\min\left(f_2,\max\left(0,f\left(x\right)-f_1\right)\right)
\end{equation}
\Cref{eq:var:o} defini\"eert $o$ als het gedeelde oppervlak van cirkel $a$ en
rechthoek $bc$ boven de $x$-as, door de integraal van de fucntie $g$ tussen het
interval $[b_1, c_1]$ te berekenen. De absolute waarde van de integraal wordt genomen
voor gevallen waar $b_x > c_x$.
\begin{equation}\label{eq:var:o}
o=\left|\int_{b_1}^{c_1}g\left(x\right)dx\right|
\end{equation}
\Cref{eq:fn:h} defini\"eert een functie die de waarde van $o$ uitrekent voor elke
willekeurige waarden voor $a$, $b$ en $c$.
\begin{equation}\label{eq:fn:h}
h(a,b,c) = \text{TODO}
\end{equation}
De complete oplossing bestaat uit de functie $h$ \'e\'en keer normaal berekenen, en
nog een keer met de rechthoek $bc$ gespiegeld om de $x$-as (vermenigvuldig $b_y$ en
$c_y$ met $-1$). De som van deze twee waarden vormt het gewenste oppervlak
\begin{equation}\label{eq:fn:k}
\begin{aligned}[c]
k\left(a,b,c\right) =\,
& h\left(
a,
\left(b_x, b_y\right),
\left(c_x, c_y\right)
\right) + \\
& h\left(
a,
\left(b_x,-b_y\right),
\left(c_x,-c_y\right)
\right)
\end{aligned}
\end{equation}
\section*{Colofon}
Ik heb geen wiskunde gestudeerd, en kan geen bewijs geven dat de methode die
beschreven is in dit document foutloos is.
\printbibliography
\end{document}
|