initial commit

1 files changed, 130 insertions, 0 deletions

diff --git a/circrect.tex b/circrect.tex
new file mode 100644
index 0000000..d48f3d5
--- /dev/null
+++ b/circrect.tex
@@ -0,0 +1,130 @@
+\documentclass[dutch, a4paper]{article}
+
+\usepackage{babel}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{microtype}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage[noabbrev]{cleveref}
+\usepackage[
+	backend=biber,
+	bibencoding=utf8,
+]{biblatex}
+
+\addbibresource{refs.bib}
+\setdescription{
+	labelwidth=3ex
+}
+
+\title{Exacte berekening van het gedeelde oppervlak van een cirkel en een rechthoek}
+\author{Loek Le Blansch}
+\date{\today}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\begin{abstract}
+In dit document wordt beschreven hoe men het gedeelde oppervlak van een willekeurige
+cirkel met een willekeurige rechthoek exact kan berekenen. Een interactief voorbeeld
+is beschikbaar op Desmos \autocite{desmosimpl}, en een voorbeeldimplementatie van de
+complete formule in de programmeertaal Python staat beschreven in de bijlage van dit
+document.
+\end{abstract}
+
+\section{Definities}
+De volgende variabelen worden gebruikt in de berekeningen, met uitzondering van
+functieparameters:
+
+\begin{description}
+	\item[$a$] (de cirkel)
+		\begin{description}
+			\item[$a_r$] (de straal van cirkel $a$)
+		\end{description}
+	\item[$bc$] (de rechthoek)
+	\item[$b$] (\'e\'en hoekpunt van de rechthoek $bc$)
+		\begin{description}
+			\item[$b_x, b_y$] (de co\"ordinaten van punt $b$)
+		\end{description}
+	\item[$c$] (tegenovergestelde hoekpunt van $b$ in rechthoek $bc$)
+		\begin{description}
+			\item[$c_x, c_y$] (de co\"ordinaten van punt $c$)
+		\end{description}
+\end{description}
+
+\section{Berekening}
+
+Het interval waarmee de integraal wordt berekend is gedefini\"eerd door $[b_1, c_1]$.
+\Cref{eq:var:d1,eq:var:d2} defini\"eren deze waarden als de $x$-co\"ordinaten van de
+hoekpunten $b$ en $c$, begrensd tussen $[-a_r, a_r]$.
+\begin{equation}\label{eq:var:d1}
+b_1=\min\left(a_r,\max\left(-a_r,b_x\right)\right)
+\end{equation}
+\begin{equation}\label{eq:var:d2}
+c_1=\min\left(a_r,\max\left(-a_r,c_x\right)\right)
+\end{equation}
+
+\Cref{eq:fn:f} defini\"eert de functie $f$ als alleen de bovenste helft van cirkel
+$a$.
+\begin{equation}\label{eq:fn:f}
+f\left(x\right)=\sqrt{a_r^2-x^2}
+\end{equation}
+
+\Cref{eq:var:f1} defini\"eert $f_1$ als de laagste verticale co\"ordinaat van de
+punten $b$ en $c$, begrensd tussen $[0, a_r]$.
+\begin{equation}\label{eq:var:f1}
+f_1=\min\left(a_r,\max\left(0,\min\left(b_y,c_y\right)\right)\right)
+\end{equation}
+
+\Cref{eq:var:f2} defini\"eert $f_2$ als de absolute hoogte van rechthoek $bc$.
+\begin{equation}\label{eq:var:f2}
+f_2=\left|\max\left(0,b_y\right)-\max\left(c_y,0\right)\right|
+\end{equation}
+
+\Cref{eq:fn:g} defini\"eert de functie $g$ als een transformatie van de functie $f$,
+met een translatie van $f_1$ omlaag, en een begrenzing van het bereik van de functie
+tot $[0, f_2]$.
+\begin{equation}\label{eq:fn:g}
+g\left(x\right)=\min\left(f_2,\max\left(0,f\left(x\right)-f_1\right)\right)
+\end{equation}
+
+\Cref{eq:var:o} defini\"eert $o$ als het gedeelde oppervlak van cirkel $a$ en
+rechthoek $bc$ boven de $x$-as, door de integraal van de fucntie $g$ tussen het
+interval $[b_1, c_1]$ te berekenen. De absolute waarde van de integraal wordt genomen
+voor gevallen waar $b_x > c_x$.
+\begin{equation}\label{eq:var:o}
+o=\left|\int_{b_1}^{c_1}g\left(x\right)dx\right|
+\end{equation}
+
+\Cref{eq:fn:h} defini\"eert een functie die de waarde van $o$ uitrekent voor elke
+willekeurige waarden voor $a$, $b$ en $c$.
+\begin{equation}\label{eq:fn:h}
+h(a,b,c) = \text{TODO}
+\end{equation}
+
+De complete oplossing bestaat uit de functie $h$ \'e\'en keer normaal berekenen, en
+nog een keer met de rechthoek $bc$ gespiegeld om de $x$-as (vermenigvuldig $b_y$ en
+$c_y$ met $-1$). De som van deze twee waarden vormt het gewenste oppervlak
+\begin{equation}\label{eq:fn:k}
+	\begin{aligned}[c]
+		k\left(a,b,c\right) =\,
+		& h\left(
+			a,
+			\left(b_x, b_y\right),
+			\left(c_x, c_y\right)
+		\right) + \\
+		& h\left(
+			a,
+			\left(b_x,-b_y\right),
+			\left(c_x,-c_y\right)
+		\right)
+	\end{aligned}
+\end{equation}
+
+\section*{Colofon}
+
+Ik heb geen wiskunde gestudeerd, en kan geen bewijs geven dat de methode die
+beschreven is in dit document foutloos is.
+
+\printbibliography
+\end{document}