de eenheidscirkel is een goed idee

2 files changed, 88 insertions, 81 deletions

diff --git a/circrect.tex b/circrect.tex
index f22a7aa..8411fe8 100644
--- a/circrect.tex
+++ b/circrect.tex
@@ -47,68 +47,67 @@ De volgende variabelen (met uitzondering van functieparameters) worden gebruikt
 berekeningen. Deze variabelen zijn weergegeven in een diagram in \cref{fig:context}.
 
 \begin{description}
-	\item[$a$] (de cirkel)
+	\item[$ab$] (de rechthoek)
+	\item[$a$] (\'e\'en hoekpunt van de rechthoek $ab$)
 		\begin{description}
-			\item[$a_r$] (de straal van cirkel $a$)
+			\item[$a_x, a_y$] (de co\"ordinaten van punt $a$)
 		\end{description}
-	\item[$bc$] (de rechthoek)
-	\item[$b$] (\'e\'en hoekpunt van de rechthoek $bc$)
+	\item[$b$] (tegenovergestelde hoekpunt van $a$ in rechthoek $ab$)
 		\begin{description}
 			\item[$b_x, b_y$] (de co\"ordinaten van punt $b$)
 		\end{description}
-	\item[$c$] (tegenovergestelde hoekpunt van $b$ in rechthoek $bc$)
-		\begin{description}
-			\item[$c_x, c_y$] (de co\"ordinaten van punt $c$)
-		\end{description}
-	\item[$o$] (het gedeelde oppervlak van $a$ en $bc$)
+	\item[$o$] (het gedeelde oppervlak van $ab$ en $c$)
 \end{description}
 
 \begin{figure}
 	\centering
-	\begin{tikzpicture}[scale=1.25]
+	\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
 		% draw area
-		\clip(-2.5,-0.5) rectangle (3.5,3.5);
+		\clip(-1.25,-0.25) rectangle (1.75,1.75);
 
 		% axes
-		\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right]{$x$};
-		\draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above]{$y$};
+		\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right]{$x$};
+		\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[above]{$y$};
 
 		% labeled points
-		% \node(-0.707,0.707) {$a_r$};
-		\coordinate [label=225:$b$] (b) at (1,1);
-		\coordinate [label=45:$c$] (c) at (2,2);
+		\coordinate [label=225:$a$] (a) at (0.5,0.5);
+		\coordinate [label=45:$b$] (b) at (1.0,1.0);
 
 		% draw rectangle, circle and line
-		\draw[thick] (b) rectangle (c);
-		\draw[thick] (0,0) circle (2);
-		% label a, b and c
-		\path[thick,<->] (0,0) edge node[below left] {$a_r$} (-1.414,1.414);
+		\draw[thick] (a) rectangle (b);
+		\draw[thick] (0,0) circle (1);
+		% label a, a and b
+		\path[thick,<->] (0,0) edge node[below left] {1} (-0.707,0.707);
+		\node[fill,circle,inner sep=1.5pt] at (a) {};
 		\node[fill,circle,inner sep=1.5pt] at (b) {};
-		\node[fill,circle,inner sep=1.5pt] at (c) {};
 
 		% hatch overlapping area
 		\begin{scope}
-			\clip (0,0) circle (2);
-			\fill[pattern=north east lines] (b) rectangle (c);
+			\clip (0,0) circle (1);
+			\fill[pattern=north east lines] (a) rectangle (b);
 		\end{scope}
 	\end{tikzpicture}
 	\caption{Voorbeeldvisualisatie toepassing}
 	\label{fig:context}
 \end{figure}
 
+Omdat elke transformatie bestaand uit een willekeurige schaling en/of translatie van
+cirkel $c$ uit te drukken is door de bijbehorende inverse transformatie toe te passen
+op rechthoek $ab$, is cirkel $c$ een eenheidscirkel.
+
 Om de formules verder te vereenvoudigen worden de volgende eisen aan de
 invoerwaarden gesteld:
 \begin{equation}\label{eq:constrain:x}
--a_r \leq b_x \leq c_x \leq a_r
+-1 \leq a_x \leq b_x \leq 1
 \end{equation}
 \begin{equation}\label{eq:constrain:y}
--a_r \leq b_y \leq c_y \leq a_r
+-1 \leq a_y \leq b_y \leq 1
 \end{equation}
 
 \section{Aanpak}
 
 Mijn initi\"ele aanpak voor dit probleem was de integraal berekenen op het interval
-$[b_x, c_x]$ van een kromme die een halfrond begrensde tussen $[b_y,c_y]$. Deze
+$[a_x, b_x]$ van een kromme die een halfrond begrensde tussen $[a_y,b_y]$. Deze
 aanpak werkte in de Desmos grafische rekenmachine \autocite{circrect1}, maar was niet
 implementeerbaar in Python.
 
@@ -119,37 +118,36 @@ kan gebruiken.
 
 \begin{figure}
 	\centering
-	\begin{tikzpicture}[scale=1.25]
+	\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
 		% draw area
-		\clip(-0.25,-0.5) rectangle (3.5,3.5);
+		\clip(-0.1,-0.25) rectangle (1.5,1.25);
 
 		% axes
-		\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right]{$x$};
+		\draw[->] (-1,0) -- (1.25,0) node[right]{$x$};
 
 		% labeled points
-		% \node(-0.707,0.707) {$a_r$};
-		\coordinate (b) at (0.5,0.5);
-		\coordinate (c) at (2.5,1.5);
+		\coordinate (a) at (0.25,0.25);
+		\coordinate (b) at (1.00,0.75);
 
 		% draw rectangle, circle and line
-		\draw[thick] (b) rectangle (c);
+		\draw[thick] (a) rectangle (b);
 		\begin{scope}
-			\clip (-3,0) rectangle (3,3);
-			\draw[thick] (0,0) circle (2);
+			\clip (-2,0) rectangle (2,2);
+			\draw[thick] (0,0) circle (1);
 		\end{scope}
 
 		% hatch overlapping area
 		\begin{scope}
-			\clip (0,0) circle (2);
-			\fill[pattern=north east lines] (0.5,5) rectangle (c);
-			\fill (b) rectangle (c);
-			\fill[pattern=crosshatch dots] (b) rectangle (2.5,0);
+			\clip (0,0) circle (1);
+			\fill[pattern=north east lines] (0.25,5) rectangle (b);
+			\fill (a) rectangle (b);
+			\fill[pattern=crosshatch dots] (a) rectangle (5,0);
 		\end{scope}
 
 		% labels
-		\node[anchor=east] at (0.5,1.75) {1};
-		\node[anchor=east] at (0.5,1.00) {2};
-		\node[anchor=east] at (0.5,0.25) {3};
+		\node[anchor=east] at (0.25,0.875) {1};
+		\node[anchor=east] at (0.25,0.500) {2};
+		\node[anchor=east] at (0.25,0.125) {3};
 	\end{tikzpicture}
 	\caption{Markering ongewenste gebieden}
 	(alleen het oppervlak van gebied 2 is gewenst)
@@ -160,20 +158,20 @@ De aanpak is als volgt:
 \begin{enumerate}
 	\item\label{step:semicircfn} Defini\"eer de functie $f$ als alleen het bovenste
 		halfrond van cirkel $a$.
-	\item Beschouw alleen het domein $[b_x, c_x]$. Als de integraal van $f$ genomen zou
+	\item Beschouw alleen het domein $[a_x, b_x]$. Als de integraal van $f$ genomen zou
 		worden op dit interval, zou de uitkomst niet alleen het oppervlak van de overlap
 		met rechthoek $bc$ zijn, maar het oppervlak van de bovenste rand van de cirkel
 		tot de $x$-aslijn. Dit is ongewenst.
-	\item\label{step:regdelbelow} De regio tussen $[0, b_y]$ (regio 3 in
+	\item\label{step:regdelbelow} De regio tussen $[0, a_y]$ (regio 3 in
 		\cref{fig:unwanted-area}) kan worden verwijderd door een verticale translatie van
-		$-b_y$ toe te passen op $f$ v\'o\'or de integraal wordt berekend. Dit zorgt voor
-		problemen zodra punt $(b_x,b_y)$ of $(c_x,b_y)$ buiten cirkel $a$ valt.
-	\item\label{step:regdelabove} De regio tussen $[c_y, a_r]$ (regio 1 in
+		$-a_y$ toe te passen op $f$ v\'o\'or de integraal wordt berekend. Dit zorgt voor
+		problemen zodra punt $(a_x,a_y)$ of $(b_x,a_y)$ buiten cirkel $a$ valt.
+	\item\label{step:regdelabove} De regio tussen $[b_y, 1]$ (regio 1 in
 		\cref{fig:unwanted-area}) kan worden verwijderd door deze te berekenen en af te
 		trekken van de resulterende regio uit stap \ref{step:regdelbelow}. Deze regio kan
 		worden berekend door een tweede integraal te berekenen, maar op $f$ met een
-		translatie van $-c_y$. Dit zorgt weer voor problemen, maar bij de punten
-		$(b_x,c_y)$ en $(c_x,c_y)$.
+		translatie van $-b_y$. Dit zorgt weer voor problemen, maar bij de punten
+		$(a_x,b_y)$ en $(b_x,b_y)$.
 	\item\label{step:limitintdomain} De tot nu toe genoemde problemen kunnen worden
 		opgelosd door de intervallen van de integralen te begrenzen tot het punt waar de
 		getransleerde functies de $x$-as snijden.
@@ -189,58 +187,67 @@ Stap \ref{step:semicircfn} is beschreven in \cref{eq:fn:f}. Om later voor stap
 van functie $f$ nodig. Omdat de functie $f$ een cirkel beschrijft, is de inverse
 functie gelijk aan functie $f$.
 \begin{equation}\label{eq:fn:f}
-f\left(x\right) = \sqrt{a_r^2-x^2}
+f\left(x\right) = \sqrt{1-x^2}
 \end{equation}
 
 Stappen \ref{step:regdelbelow} en \ref{step:regdelabove} zijn beschreven in
-\cref{eq:fn:fb,eq:fn:fc}.
+\cref{eq:fn:fa,eq:fn:fb}.
 \begin{align}
-\label{eq:fn:fb} f_b\left(x\right) &= f\left(x\right)-b_y\\
-\label{eq:fn:fc} f_c\left(x\right) &= f\left(x\right)-c_y
+\label{eq:fn:fa} f_a\left(x\right) &= f\left(x\right)-a_y\\
+\label{eq:fn:fb} f_b\left(x\right) &= f\left(x\right)-b_y
 \end{align}
 
 Stap \ref{step:limitintdomain} is beschreven in
 \cref{eq:var:xb1,eq:var:xb2,eq:var:xc1,eq:var:xc2}.
 \begin{align}
 \label{eq:fn:clamp} \clamp\left(a,b,x\right) &=
-	\max\left(a, \min\left(b, c\right)\right)\\
-\label{eq:var:xb1} x_{b_1} &=
-	\clamp\left(b_x,c_x,-f\left(b_y\right)\right)\\
-\label{eq:var:xb2} x_{b_2} &=
-	\clamp\left(b_x,c_x, f\left(b_y\right)\right)\\
-\label{eq:var:xc1} x_{c_1} &=
-	\clamp\left(b_x,c_x,-f\left(c_y\right)\right)\\
-\label{eq:var:xc2} x_{c_2} &=
-	\clamp\left(b_x,c_x, f\left(c_y\right)\right)
+	\max\left(a, \min\left(b, x\right)\right)\\
+\label{eq:var:xb1} x_{a_1} &=
+	\clamp\left(a_x,b_x,-f\left(a_y\right)\right)\\
+\label{eq:var:xb2} x_{a_2} &=
+	\clamp\left(a_x,b_x, f\left(a_y\right)\right)\\
+\label{eq:var:xc1} x_{b_1} &=
+	\clamp\left(a_x,b_x,-f\left(b_y\right)\right)\\
+\label{eq:var:xc2} x_{b_2} &=
+	\clamp\left(a_x,b_x, f\left(b_y\right)\right)
 \end{align}
 
-Nu kunnen de integralen berekend worden volgens \cref{eq:var:ob,eq:var:oc,eq:var:o}.
+Nu kan de oppervlakte $o$ berekend worden door de integralen uit te rekenen volgens
+\cref{eq:var:oa,eq:var:ob,eq:var:o}.
 \begin{align}
+\label{eq:var:oa} o_a &= \int_{x_{a_1}}^{x_{a_2}}f_a\left(x\right)dx\\
 \label{eq:var:ob} o_b &= \int_{x_{b_1}}^{x_{b_2}}f_b\left(x\right)dx\\
-\label{eq:var:oc} o_c &= \int_{x_{c_1}}^{x_{c_2}}f_c\left(x\right)dx\\
-\label{eq:var:o} o &= o_b - o_c
+\label{eq:var:o} o &= o_a - o_b
 \end{align}
 
 \section{Uitbereiding}
 
 Om \cref{eq:var:o} als een constante formule te defini\"eren moet functie $f$
-geprimitiveerd worden.
-
-TODO: definieer functie $F$ als de primitieve van functie $f$
+geprimitiveerd worden. De primitieve van functie $f$ is gedefini\"eerd in
+\cref{eq:fn:F} als de nieuwe functie $F$ met een extra argument $n$ voor een
+verticale verschuiving van $f$.
+\begin{equation}\label{eq:fn:F}
+	\begin{aligned}[c]
+F\left(x,n\right)&=\int\left(f\left(x\right) + n\right) dx\\
+								 &=\frac{1}{2}\left(2nx+\sqrt{1-x^2}x+\sin^{-1}\left(x\right)\right)
+	\end{aligned}
+\end{equation}
 
-TODO: definieer functie $h$ (uitbereiding $o$ als functie)
+Nu kan een complete functie $g$ beschreven worden:
+\begin{equation}\label{eq:fn:g}
+g\left(a,b\right) = \text{TODO}
+\end{equation}
 
-De complete oplossing bestaat uit de functie $h$ \'e\'en keer normaal berekenen, en
-nog een keer met de rechthoek $bc$ gespiegeld om de $x$-as (vermenigvuldig $b_y$ en
-$c_y$ met $-1$). De som van deze twee waarden vormt oppervlak $o$.
-\begin{equation}\label{eq:fn:k}
+De complete oplossing bestaat uit de functie $g$ \'e\'en keer normaal berekenen, en
+nog een keer met de rechthoek $ab$ gespiegeld om de $x$-as (vermenigvuldig $a_y$ en
+$b_y$ met $-1$). De som van deze twee waarden vormt oppervlak $o$.
+\begin{equation}\label{eq:fn:h}
 	\begin{aligned}[c]
-		k\left(a,b,c\right) ={}
-			h\,(a, & \left(b_x,\max\left(0,b_y\right)\right),\\
-			       & \left(c_x, \max\left(0,c_y\right)\right)
-		) + \\
-			h\,(a, & \left(b_x,\max\left(0,-b_y\right)\right),\\
-			       & \left(c_x, \max\left(0,-c_y\right)\right)
+		h\left(a,b\right)
+		= g\,(&\left(a_x,\max\left(0,a_y\right)\right),\\
+			    &\left(b_x, \max\left(0,b_y\right)\right))\\
+		+ g\,(&\left(a_x,\max\left(0,-a_y\right)\right),\\
+			    &\left(b_x, \max\left(0,-b_y\right)\right)
 		)
 	\end{aligned}
 \end{equation}
diff --git a/refs.bib b/refs.bib
index 5473a7e..9535627 100644
--- a/refs.bib
+++ b/refs.bib
@@ -10,7 +10,7 @@
 	title = {circrect2},
 	url = {https://www.desmos.com/calculator/zudzhuj9yi},
 	author = {Loek Le Blansch},
-	date = {2024-01-07},
-	urldate = {2024-01-07},
+	date = {2024-01-08},
+	urldate = {2024-01-08},
 }